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Cauchy Konvergenzkriterium Beispiel Essay

Motivation[Bearbeiten]

In dem letzten Kapitel haben wir den Begriff des Grenzwerts einer Folge kennengelernt. Du hast auch gesehen, wie man die Konvergenz einer Folge mit Hilfe der Epsilon-Definition des Grenzwerts beweisen kann. Für den Konvergenzbeweis mit der Epsilon-Definition ist es aber notwendig, den Grenzwert der Folge zu kennen bzw. eine Vermutung zu haben, was der Grenzwert der Folge sein könnte.

Die Epsilon-Definition des Grenzwerts lautet nämlich: Zu jedem gibt es ein , so dass die Ungleichung für erfüllt ist. Dabei ist der Grenzwert der Folge . Du siehst: In der Epsilon-Definition muss man den Grenzwert kennen. Doch wie können wir die Konvergenz einer Folge zeigen, wenn es sehr schwer oder sogar unmöglich ist, den Grenzwert der Folge zu bestimmen? Deshalb steht in diesem Kapitel folgende Frage im Vordergrund:

Wie kann man beweisen, dass eine Folge konvergiert, ohne den Grenzwert dieser Folge zu kennen?

Wie würdest du dieses Problem lösen? Ein erster Ansatz ist folgende Hypothese:

Eine Folge konvergiert genau dann, wenn der Abstand zwischen benachbarten Folgengliedern beliebig klein wird.

Diese Hypothese ist plausibel. Ist aber dieses Kriterium ausreichend? Leider nicht! Nimm zum Beispiel die Folge

Die Folge wird beliebig groß und divergiert damit. Der Abstand benachbarter Folgenglieder wird aber beliebig klein. Hier siehst du, dass wir ein stärkeres Kriterium als unsere obige Hypothese benötigen. Cauchy-Folgen erfüllen genau dieses stärkere Kriterium.

Herleitung von Cauchy-Folgen[Bearbeiten]

Nehmen wir die Epsilon-Eigenschaft des Grenzwerts und „spielen“ ein wenig damit herum. Wenn eine Folge gegen konvergiert, dann wissen wir aus der Epsilon-Definition der Konvergenz:

Fixieren wir ein . Es gibt dann einen von abhängigen Index , so dass für alle ist. Seien nun . Es ist dann

Insgesamt erhalten wir mit Hilfe der Dreiecksungleichung folgende Abschätzung für :

Folgenglieder nach müssen also alle untereinander einen Abstand kleiner als besitzen. Dies kann auch aus folgender Überlegung geschlussfolgert werden: Alle Folgenglieder nach müssen in der -Umgebung liegen:

Obige Epsilon-Umgebung besitzt die Breite . Da alle Folgenglieder nach in dieser Umgebung liegen, muss ihr Abstand untereinander kleiner als sein. Insgesamt haben wir also für die konvergente Folge folgendes gezeigt:

Diesen Ausdruck können wir nun schöner schreiben. Hierzu setzen wir . Wenn alle positiven Zahlen durchläuft, dann durchläuft auch alle positiven Zahlen. Die Abbildung bildet nämlich bijektiv auf ab (diese Abbildung nutzen wir, wenn wir setzen). Damit ist

Folgen mit dieser Eigenschaft werden genannt. Du siehst, dass diese Definition nicht auf den Grenzwert einer Folge zurückgreift. Später werden wir sehen, dass eine reelle Folge genau dann konvergiert, wenn sie eine Cauchy-Folge ist. So kann man die Konvergenz einer Folge beweisen, ohne den Grenzwert kennen zu müssen.

Hinweis

In den folgenden Abschnitten werden wir bei Cauchy-Folgen anstelle von nutzen. In diesem Abschnitt hatten wir bereits früher verwendet, weswegen wir die neue Variable eingeführt hatten.

Definition von Cauchy-Folgen[Bearbeiten]

Fassen wir das bisher Hergeleitete zusammen:

Intuitiv gesprochen ist eine Folge genau dann eine Cauchy-Folge, wenn die Abstände der Folgenglieder untereinander beliebig klein werden. Beachte, dass hier mehr als nur der Abstand direkt benachbarter Folgenglieder gemeint ist. Zur Illustration:

  • Eine Cauchy-Folge: Der Abstand der Folgenglieder untereinander wird beliebig klein

  • Keine Cauchy-Folge: Der Abstand der Folgenglieder untereinander wird nicht beliebig klein

Beispiel (Eine Cauchy-Folge)

Die Folge mit ist eine Cauchy-Folge. Dazu müssen wir zeigen, dass es zu jedem ein gibt, so dass für alle gilt

Im Abschnitt zu den Grenzwerten haben wir mit dem Cauchy-Kriterium bereits eine alternative Charakterisierung der Konvergenz kennengelernt. Eine Folge ist nämlich genau dann konvergent, wenn sie eine Cauchy-Folge ist. Nun ist die Konvergenz einer Reihe nichts anderes als die Konvergenz der dazugehörigen Partialsummenfolge. Damit wird die Reihenkonvergenz auf die Folgenkonvergenz zurückgeführt, sodass wir das Cauchy-Kriterium auch auf Reihen anwenden können. Man erhält so das Cauchy-Kriterium für Reihen, welches vor allem in Beweisen Anwendung findet.

Das Cauchy-Kriterium hat seinen Namen vom französischen Mathematiker Augustin Louis Cauchy, da er als Erster dieses Konvergenzkriterium in seinem Lehrbuch „Cours d'Analyse“ (1821) veröffentlichte[1].

Herleitung des Cauchy-Kriteriums[Bearbeiten]

Wiederholung der notwendigen Begriffe[Bearbeiten]

Cauchy-Folgen sind Folgen, deren Folgenglieder sich gegenseitig beliebig nahe kommen. Bei Cauchy-Folgen gibt es für jeden Maximalabstand ein Mindestindex , so dass ab dem Folgenglied für alle folgenden Folgenglieder und der Abstand kleiner als ist. Es gilt also für Cauchy-Folgen:

Für die Herleitung brauchen wir auch die Definition der Reihenkonvergenz: Eine Reihe konvergiert genau dann, wenn die Folge der Partialsummen

konvergiert.

Herleitung[Bearbeiten]

Sei die -te Partialsumme, also die Summe der ersten Summanden:

Gehen wir nun davon aus, dass die Reihe konvergiert. Nach Definition konvergiert dann die Folge , sodass sie das Cauchy-Kriterium für Folgen erfüllt. Wir können somit in das obige Cauchy-Kriterium für Folgen einsetzen und erhalten:

Der beliebig klein werdende Abstand kann weiter zusammengefasst werden. Gehen wir davon aus, dass ist. Dann ist

Wir sehen: Wenn eine Reihe konvergiert, dann wird die Summe von aufeinander folgenden Summanden mit beliebiger aber fixer Länge mit wachsendem Startindex des ersten Summanden beliebig klein. Bei Konvergenz der Reihe gilt also:

Hier mussten wir anstelle von nehmen, weil wir oben nur Fälle betrachtet haben.

Verschönerung der Aussageform[Bearbeiten]

Um die Aussageform etwas schöner aufschreiben zu können, setzen wir . Aus wird dann . Außerdem wird aus die Ungleichung . Wir erhalten:

Setzen wir nun :

Durch Umbenennung und erhalten wir:

Obige Aussageform gilt also, wenn die Reihe konvergiert. Diese wird genannt.

Beweis der Rückrichtung[Bearbeiten]

Bisher haben wir gezeigt, dass eine konvergente Reihe das Cauchykriterium erfüllt. Umgekehrt konvergiert aber auch die Reihe, wenn nach obigem Cauchy-Kriterium beliebig klein wird. Gehen wir also davon aus, dass

ist und schauen wir, ob dann die Reihe zwangsweise konvergieren muss. In obiger Herleitung haben wir gesehen, dass dem Abstand für entspricht (nachdem die Variablen entsprechend umbenannt wurden). Aus dem Cauchy-Kriterium für Reihen kann man also das Cauchy-Kriterium der Partialsummenfolge mit zeigen. Jedoch fehlt uns hier das Cauchy-Kriterium der Partialsummen für den Fall . Auch für diesen Fall müssen wir zeigen, dass

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